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Z 8819-2 : 2019 (ISO 9276-2 : 2014)
表B.1−対数正規分布による体積分布(R5シリーズ)
区間番号 中点Di 粒子径範囲 積算分率 頻度分率
3
(m) (m) niDi niD3i
i
1 1.286 0.995以上 1.577未満 0.010 52 0.009 90
2 2.039 1.577以上 2.500未満 0.082 83 0.072 31
3 3.231 2.500以上 3.962未満 0.320 87 0.238 04
4 5.121 3.962以上 6.280未満 0.675 72 0.354 85
5 8.116 6.280以上 9.953未満 0.915 71 0.239 99
6 12.863 9.953以上 15.774未満 0.989 21 0.073 50
7 20.387 15.774以上 25.000未満 0.999 36 0.010 14
表B.2−平均粒子径及び幾何標準偏差を計算するためのデータ
中点Di 分率 ni nilnDi niDi niDi2 niDi3lnDi niDi4 ni[ln(Di D3,3) ]2
(m) niDi3 (×100) (×100) (×100) (×100)(×100) (×100) (×100)
1.286 0.009 90 0.464 9 0.117 1 0.598 1 0.769 3 0.249 2 1.272 9 1.895 2
2.039 0.072 31 0.853 4 0.607 9 1.739 8 3.546 9 5.150 7 14.741 9 6.165 3
3.231 0.238 04 0.705 7 0.827 6 2.280 1 7.367 2 27.918 5 76.914 8 5.099 7
5.121 0.354 85 0.264 2 0.431 6 1.353 1 6.929 4 57.959 4 181.718 4 0.000 2
8.116 0.239 99 0.044 9 0.094 0 0.364 3 2.956 9 50.250 7 194.781 0 5.038 1
12.863 0.073 50 0.003 5 0.008 8 0.044 4 0.571 4 18.774 8 94.545 9 6.203 5
20.387 0.010 14 0.000 1 0.000 4 0.002 4 0.049 7 3.057 7 20.676 3 1.929 2
合計 0.998 73 2.336 7 2.087 3 6.382 3 22.190 9 163.361 0 584.651 2 26.331 2
平均粒子径及び標準偏差の推定値は,表B.2の一番下の行にある合計を用いて計算することができる。
−
ED
1,0=6.382 3/2.336 7=2.731[列5及び列3,式(52)]
−
ED
2,0=(22.190 9/2.336 7)1/2=3.082[列6及び列3,式(52)]
−
ED
3,0=(99.873/2.336 7)1/3=3.496[列2及び列3,式(52)]
−
ED
2,1=22.190 9/6.382 3=3.477[列6及び列5,式(52)]
−
ED
3,2=99.873/22.190 9=4.501[列2及び列6,式(52)]
−
ED
4,3=584.651 2/99.873=5.854[列8及び列2,式(52)]
5,3=(44.293 7/0.998 73)1/2=6.660[列2,式(52),ただし, 7
−
ED
3
niDi =44.293 7]
i 1
−
ED
0,0=exp (2.087 3/2.336 7)=2.443[列4及び列3,式(53)]
−
ED
3,3=exp (163.361 0/99.873)=5.133[列7及び列2,式(53)]
sg=exp(s)=
26.331 2 .0(998 73
100 =exp (0.513 47)=1.671 1[列9及び列2,式(64)及び式(65),サン
プルサイズは大きいと仮定する(N≫100)]。
− −
.3082 2 .27312 =1.427[上記
ED ED
2,0及び 1,0,式(61),サンプルサイズは大きいと仮定する(N≫100)]。
s0=
−
ED
−
ED
5,3及び 4,3の値はそれぞれ,6.660及び5.854になり,式(62)に従って体積基準分布の標準偏差s3を計
算する場合に必要になる。これらの値から,s3=3.176,分散s32=10.086となる。
−
ED
−
ED
0,0は,対数幾何標準偏差s=ln(sg)=ln(1.671 1)=0.513 5,及び
3,3=5.133の各値を式(72)
幾何平均径
に代入して計算することができる。
−
ED
0,0=5.133×exp[(0+0−6)×0.513 52/2) ]=2.327
−
ED
0,0を式(53)から計算した値,2.443に対して約5 %異なる。しかし,その解析値に対する偏
この値は,
――――― [JIS Z 8819-2 pdf 21] ―――――
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Z 8819-2 : 2019 (ISO 9276-2 : 2014)
差は−1.5 %になる。推定値と対応する解析値との比較は,表B.3に与えられる。
−
ED
表B.3−平均粒子径 p,q及び幾何標準偏差sgの推定値と解析値との比較(R5及びR10シリーズ)
平均径及び標準 解析値(m) R5シリーズ R10シリーズ
偏差の測定基準 推定値(m) 偏差(%) 推定値(m) 偏差(%)
−
ED
1,0
2.676 2.731 2.06 2.751 2.77
−
ED
2,0
3.033 3.082 1.62 3.090 1.90
−
ED
3,0
3.436 3.496 1.74 3.487 1.48
−
ED
2,1
3.436 3.477 1.18 3.472 1.03
−
ED
3,2
4.412 4.501 2.00 4.441 0.65
−
ED
4,3
5.666 5.854 3.32 5.703 0.66
−
ED
0,0
2.362 2.443 3.44 2.466 4.44
−
ED
3,3
5.000 5.133 2.66 5.033 0.66
sg 1.648 7 1.583 7 −3.94 1.579 0 −4.23
表B.3に示されるR5シリーズ及びR10シリーズを用いた計算値と解析値との差は,小さい。原理的に
−
ED
−
ED
−
ED
3,2, 3,3及び 4,3でその
は,R5シリーズより偏差の小さいR10シリーズを用いることが望まれ,特に,
ことが確認できる。その結果は,R10シリーズのような狭い粒子径区間は,R5のような広い粒子径区間よ
り推奨されることを意味する。正確さに関する他の情報は,箇条7に与えられている。
――――― [JIS Z 8819-2 pdf 22] ―――――
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Z 8819-2 : 2019 (ISO 9276-2 : 2014)
附属書C
(参考)
粒子径分布パラメータの計算の正確さ
広い粒子径分布の場合,測定基準の変換によって分布は大きくシフトするので,分布の範囲は重要にな
る。例えば,ISO 9276-5によれば対数正規分布の中位径は,次の式(C.1)の関係にある。
ln(D50,3)=ln(D50,2)+s2=ln(D50,1)+2s2=ln(D50,0)+3s2 (C.1)
ここに, s=ln sg : 対数正規分布の標準偏差
sg : 対数正規分布の幾何標準偏差
同様な関係式は,その他の分布の特徴パラメータに対しても成立する。例えば,分布がより広い場合に
は(すなわち,sが大きな場合),D50,3からD50,0へのシフトが大きいことを式(C.1)は示している。測定さ
れた体積基準粒子径分布の幅が広い(又は中くらいの幅の)場合に,粒子径分布の下端の僅かな範囲に無
視できない粒子数が含まれることを計算することができる。例えば,s=0.7(D90,3/D10,3=6.0に相当)の対
数正規分布において,粒子径分布の下端部の体積分率0.05 %は,個数分率では12 %に相当する。したがっ
て,下端部の体積分率0.05 %のカットオフは,個数分率で12 %の細粒のロスを意味する。同様に,測定さ
れた個数基準粒子径分布の幅が広い(又は中くらいの幅の)場合には,粒子径分布の上端部の少ない個数
が相当する粒子体積は無視できない。
粒子径区間幅が広いことは,多くの粒子が同じ粒子径として扱われることを意味するため,広い粒子径
区間に少ない数の粒子が含まれる場合には,測定された粒子径分布の粒子径区間の幅に対して注意が必要
になる。したがって,粒子径分布の測定基準を変えることで大きな不確かさが生じる。例えば,附属書A
及び附属書BのR5シリーズのデータには,約4 %に上る偏りがある。
例として図C.1に,異なる分布幅をもつD50,3=5 μmである体積基準の対数正規分布に対して求めた種々
の分布パラメータの偏差を示す。理論的な分布の上端部及び下端部をそれぞれ,体積分率で0.05 %を切り
捨てた。粒子径区間をR20シリーズに設定した。R20シリーズでは,区間の比は101/20=1.122になる(ISO
565)。
――――― [JIS Z 8819-2 pdf 23] ―――――
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Z 8819-2 : 2019 (ISO 9276-2 : 2014)
D10,0
D50,0
−
ED
1,0
−
ED
3,2
−
ED
4,3
X : 分布の幅,D90,3/D10,3
Y : 偏差,%
図C.1−分布パラメータの計算値に対する分布幅の影響
図C.1のデータは,比D90,3/D10,3がおおよそ3.5より小さい場合,切り捨てていない分布における理論値
に対する変換の偏差は,10 %以下になることを示している。さらに,その値が測定された分布の端に対応
する(この場合には体積基準分布の下端。)分布幅が広くなるに従い,計算される粒子径分布のパラメータ
−
ED
−
ED
4,3,3,2のような粒子径分布の平均的なパ
に対する偏差は大きくなることを図C.1は示している。また,
ラメータの測定値と理論値との偏差は1 %以下になることが明確に示されている。ただし,全てのパラメ
ータは,分布の切捨てがない場合に偏りが1 %以下になるように計算されることに注意する。
R5シリーズの分解能(ステップ幅101/5=1.585)を上記と同様の対数正規分布に用いた場合,粒子径区
間幅の影響も示されている。例えば,粒子径区間の中点を境界値の算術平均とすると,D50,3は5.132 μm(偏
り2.6 %)になる。他方,幾何平均では,正しい値5.0 μmが得られる。もちろん,中点の与え方は,分布
の粒子径区間の設定に依存する。
平均粒子径及び分布の特徴パラメータの計算精度は,次のような場合に変換によって大きく低下する可
能性がある。
− 粒子径分布が広い。
− 分布が切り捨てられている。
− 測定基準(r)の変換がかなり大きい。
高い正確さが必要な場合には,Excel 1)などを用いて,シミュレーションによって潜在的な偏差を検討す
ることを推奨する。
――――― [JIS Z 8819-2 pdf 24] ―――――
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Z 8819-2 : 2019 (ISO 9276-2 : 2014)
参考文献
[1] LESCHONSKI, K.: “Representation and Evaluation of Particle Size Analysis Data”, Particle Characterisation,
1, 89-95 (1984)
[2] STINTZ, M.: “Representation of Results of Particle Size Analysis−Calculation of Average Particle
Sizes/Diameters and Moments from Particle Size distributions”, World Congress on Particle Technology 4,
21.-25.07., Sydney, Proceedings, Int. Number 661 (2002)
[3] ALDERLIESTEN, M.: “Mean Particle Diameters. Part I: Evaluation of Definition Systems”, Part. Part. Syst.
Charact., 7, 233-241 (1990)
[4] ALDERLIESTEN, M.: “Mean Particle Diameters From Statistical Definition to Physical Understanding”,
Thesis, Delft University of Technology (2008)
[5] MASUDA, H. and IINOYA, K.: “Mean Particle Diameter in an Analysis of a Particulate Process”, Memoiries
of the Faculty of Engineering, Kyoto University, Vol. 34, Part 4, Kyoto (1972)
[6] HEYWOOD, H.: “The Scope of Particle Size Analysis and Standardization. The Institution of Chemical
Engineers”, Suppl. Trans. Inst. Chem. Engineers, 25, 14-24 (1947)
[7] HERDAN, G.: “Small Particle Statistics”, pp. 32-33, Butterworths, London (1960)
[8] ALDERLIESTEN, M.: “Mean Particle Diameters. Part III: An Empirical Evaluation of Integration and
Summation Methods for Estimating Mean Particle Diameters from Histogram Data”, Part. Part. Syst. Charact.,
19, 373-386 (2002)
[9] ALDERLIESTEN, M.: “Mean Particle Diameters. Part II: Standardization of Nomenclature”, Part. Part. Syst.
Charact., 8, 237-241 (1991)
[10] MUGELE, R. A. and EVANS, H. D.: “Droplet Size Distribution in Sprays”, Ind. Eng. Chem., 43, 1317-1324
(pdf 一覧ページ番号 )
[11] RUMPF, H. and EBERT, K. F.: “Darstellung von Kornverteilungen und Berechnung der spezifischen
Oberflche”, Chem. lng. Tech., 36, 523-537 (1964)
[12] MERKUS, H.: “Particle Size Measurements; Fundamentals, Practice, Quality”, Particle Technology Series,
Springer Netherlands (2009)
[13] ISO 565,Test sieves−Metal wire cloth, perforated metal plate and electroformed sheet−Nominal sizes of
openings
[14] ISO 3534-1:2006,Statistics−Vocabulary and symbols−Part 1: General statistical terms and terms used in
probability
[15] ISO 9276-5,Representation of results of particle size analysis−Part 5: Methods of calculation relating to
particle size analyses using logarithmic normal probability distribution
[16] JIS Z 8819-1 粒子径測定結果の表現−第1部 : 図示方法
[17] JIS Z 8890:2017 粉体の粒子特性評価−用語
[18] 粉体工学会編,粉体工学ハンドブック,朝倉書店(2014)
JIS Z 8819-2:2019の引用国際規格 ISO 一覧
- ISO 9276-2:2014(IDT)
JIS Z 8819-2:2019の国際規格 ICS 分類一覧
- 19 : 試験 > 19.120 : 粒度分析.ふるい分け