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X 7107 : 2005 (ISO 19107 : 2003)
の連結な幾何オブジェクト。
殻(shell)(本体4.66) 輪体である単純曲面。
備考 殻は三次元座標系における立体の境界の要素を記述するために用いる。
立体(solid)(本体4.68) 三次元ユークリッド空間のある領域の連続な像を表す三次元の幾何プリミテ
ィブ。
備考 立体は,直接位置の三つのパラメタをもつ集合によって局所的に実現することができる。立体
の境界は,その立体の限界を包含する,向きをもつ閉曲面の集合である。
B.6.2.3 幾何複体
幾何複体(geometric complex)(本体4.45) 互いに素な幾何プリミティブの集合で,各幾何プリミティ
ブの境界を,その集合の中の,より低い次元の幾何プリミティブの和集合として表すことのできる集合。
備考 集合の幾何プリミティブは,複数の幾何プリミティブの内部に存在するような直接位置はない
という意味で互いに素である。集合は,境界演算で閉じているが,これは,幾何複体の各要素
について,その要素の境界を表す幾何プリミティブの集まり(これも幾何複体となる。)が存在
することを意味する。既に述べたように,点(幾何の唯一の零次元プリミティブオブジェクト
型)の境界は,空集合である。したがって,最も高い次元の幾何プリミティブが立体(三次元)
の場合,この定義の境界演算を次々と適用していくと,高々3ステップ後には終結する。また,
任意のオブジェクトの境界は輪体となる。
部分複体(subcomplex)(本体4.74) すべての要素が,より大きな複体の一部でもあるような複体。
備考 幾何複体及び位相複体の定義が要求するのは,境界演算について閉じることだけであることか
ら,特定の次元又はそれ以下の任意のプリミティブの集合は,常に元のより大きな複体の部分
複体になる。したがって,任意の完全平面位相複体は,部分複体であるエッジノードグラフを
含む。
合成曲線(composite curve)(本体4.10) 列の各曲線が(最初のものを除き)直前の曲線の終点から開始
するような曲線の列。
備考 合成曲線は,直接位置の集合として,曲線のすべての性質をもつ。
合成立体(composite solid)(本体4.11) 共有された境界曲面に沿って互いに隣接する立体の連結な集合。
備考 合成立体は,直接位置の集合として,立体のすべての性質をもつ。
合成曲面(composite surface)(本体4.12) 共有された境界曲線に沿って互いに隣接する曲面の連結な集
合。
備考 合成曲面は,直接位置の集合として,曲面のすべての性質をもつ。
B.7 位相の用語
B.7.1 位相の概念
計算位相幾何(computational topology)(本体4.14) 通常,計算幾何において実行される,位相オブジ
ェクトの演算の支援,拡張又は定義を行う位相的な概念,構造及び代数。
B.7.2 位相オブジェクト
B.7.2.1 一般的な概念
位相境界(topological boundary)(本体4.77) 位相オブジェクトの範囲を制限する,より低い位相次元
の向きをもった位相プリミティブの集合で表される境界。
備考 位相複体の境界は,この位相複体の幾何実現の境界と整合する。
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位相複体(topological complex)(本体4.78) 境界演算について閉じている位相プリミティブの集まり。
備考 境界演算について閉じているとは,位相プリミティブが位相複体に含まれる場合には,その境
界オブジェクトもまたこの位相複体に含まれることを意味する。
位相オブジェクト(topological object)(本体4.81) 連続した変換のもとでも変わらない空間特性を表す
空間オブジェクト。
備考 位相オブジェクトは,位相プリミティブ,位相プリミティブの集まり又は位相複体である。
双対境界(coboundary)(本体4.9) ある位相オブジェクトに対応して,その位相オブジェクトを境界と
してもつ,より高い位相次元の位相プリミティブの集合。
備考 ノードがエッジの境界に存在する場合,このエッジは,そのノードの双対境界上にある。この
二つの関係のいずれか一つに関連付けられた任意の方向パラメタは,もう一方の関係に対して
も関連付けられる。これは,ノードがエッジの終点ノードである(正の有向エッジの終端とし
て定義される)場合,そのノードの正の方向(正の有向ノードとして定義される)が双対境界
上にエッジをもつようにするためである(図35参照)。
位相次元(topological dimension)(本体4.79) 幾何オブジェクト内の直接位置を他の位置と区別するの
に必要な自由変数の最小の数。
備考 上の自由変数は,多くの場合局地座標系として考えることができる。三次元座標空間において,
uとvとを実数,Aを平面上の任意の点,X及びYを平面の二つの接ベクトルとすると,平面は
P(u,v) = A + u X + v Yと書き表すことができる。この平面の位置はuとvとによって(ここで
は至る所を)識別できるので,平面は二次元であり,(u,v)はこの平面上の点の座標となる。
一般の曲面では,通常は,至る所を普遍的に識別するのは不可能である。曲面上の点を曲面の
接平面上へ射影すると,接点の微小近傍の局所同形を通常得ることができる。曲面に対するこ
の“局所座標”系は,曲面が二次元位相オブジェクトであるための要件を満たす。
この規格は空間座標だけを取り扱うので,任意の三次元オブジェクトは座標がその位相次元を
定めることに依存することができる。四次元モデル(時空間)では,接空間は三次元までのオ
ブジェクトの位相次元を定めるという重要な役割も果たす。
B.7.2.2 位相プリミティブ及びその関連用語
位相プリミティブ(topological primitive)(本体4.82) 単独の不可分な要素を表す位相オブジェクト。
備考 位相プリミティブは幾何実現の同じ次元の幾何プリミティブの内部に相当する。
ノード(node)(本体4.58) 零次元の位相プリミティブ。
備考 ノードの境界は,空集合である。
連結ノード(connected node)(本体4.16) 一つ以上のエッジが開始又は終了するノード。
孤立ノード(isolated node)(本体4.55) どのエッジとも関係しないノード。
始点ノード(start node)(本体4.71) エッジを含む位相複体の有効な幾何実現において,そのエッジを
実現する曲線の始点に対応する,このエッジの境界のノード。
終点ノード(end node)(本体4.35) エッジを含む位相複体の有効な幾何実現において,そのエッジを実
現する曲線の終点に対応する,このエッジの境界のノード。
エッジ(edge)(本体4.33) 一次元の位相プリミティブ。
備考 エッジの幾何実現は曲線である。エッジの境界は,位相複体中でこのエッジと関連付けられた
一つ又は二つのノードの集合である。
フェイス(face)(本体4.38) 二次元の位相プリミティブ。
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備考 フェイスの幾何実現は曲面である。フェイスの境界は,境界関係をとおしてフェイスに関連付
けられる同じ位相複体における有向エッジの集合である。これらは,輪の形に揃えることがで
きる。
位相立体(topological solid)(本体4.83) 三次元の位相プリミティブ。
備考 位相立体の境界は有向フェイスの集合からなる。
B.7.2.3 位相複体とその関連用語
位相複体(topological complex)(本体4.78) 境界演算について閉じている位相プリミティブの集まり。
備考 境界演算について閉じているとは,位相プリミティブが位相複体に含まれる場合には,その境
界オブジェクトもまたこの位相複体に含まれることを意味する。
全域フェイス(universal face)(本体4.84) 二次元複体中の非有界フェイス。
備考 全域フェイスは,通常どのような地物の一部でもなく,データ集合の非有界の部分を表すため
に用いる。通常,この内部境界(それは外部境界をもたない。)をデータ集合によって表された
地図の外部境界とみなす。この規格は,全域フェイスを特別扱いしないが,応用スキーマでは
そうすることが有効な場合もある。
全域位相立体(universal solid)(本体4.85) 三次元複体中の非有界位相立体。
備考 全域位相立体は,三次元において全域フェイスに相当するものであり,通常はどのような地物
の一部でもない。
位相式(topological expression)(本体4.80) 多変量多項式のように演算される,向きをもつ位相プリミ
ティブの集まり
備考 位相式は,計算位相幾何の多くの計算で使用する。
有向位相オブジェクト(directed topological object)(本体4.31) 位相プリミティブとその方向の一つと
の間の論理的な関連を表す位相オブジェクト。
有向ノード(directed node)(本体4.29) ノードとその方向の一つとの間の関連を表す有向位相オブジェ
クト。
備考 有向ノードは,双対境界関係においてエッジとノードとの間の空間的な関連を保持するために
用いる。一つのエッジに関するノードの向きは,そのエッジの終点ノードでは“+”,始点ノー
ドは“-”になる。これは,“ベクトル=終点−始点”というベクトルの概念と整合している。
有向エッジ(directed edge)(本体4.27) エッジとその向きの一つとの間の関連を表す有向位相オブジェ
クト。
備考 有向エッジは,そのエッジと向きが一致しているものは + という向きを,そうでなければ
という向きをもつとする。有向エッジは,位相幾何においては同一のエッジの右側(-)と左側
(+)とを区別する場合,同一のエッジの始点ノード(-)と終点ノード(+)とを区別するため
に,そして計算位相幾何においてはこれらの概念を表現するために用いる。
有向フェイス(directed face)(本体4.28) フェイスとその向きの一つとの間の関連を表す関連を表す有
向位相オブジェクト。
備考 有向フェイスの外部境界を構成する有向エッジは,その有向フェイスの正の側からみて,正の
向きが決まる。位相立体の境界を示す有向フェイスの向きは,この位相立体から離れる方向を
指す。隣接する位相立体では,それらが共有する境界には異なる向きを付けることになるが,
これは,隣接するフェイスとそれらが共有するエッジとの間は同種の関連で整合している。有
向フェイスは,双対境界関係においてフェイスとエッジとの間の空間的な関係を保持するため
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に用いる。
有向位相立体(directed solid)(本体4.30) 位相立体とその向きの一つとの間の関連を表す有向位相オブ
ジェクト。
備考 有向位相立体は,双対境界関係においてフェイスと位相立体との間の空間的な関係を保持する
ために用いる。一つのフェイスに関する位相立体の向きは,そのフェイスの上方法線が位相立
体の外側へ向く場合は“+”,内側に向く場合は“-”である。これは,立体の境界となる曲面に
対して“上方=外側”という概念と整合する。
B.7.2.4 位相複体の型
グラフ(graph)(本体4.51) 一部がエッジによって結合されているノードの集合。
備考 地理情報システムでは,グラフは,二つのノードに結合するエッジを複数もつことができ,同
じノードを両端にもつエッジをもつこともできる。
エッジノードグラフ(edge-node graph)(本体4.34) ある位相複体内に埋め込まれているグラフで,そ
の複体内のすべてのエッジとそれに連結したノードからなるもの。
備考 エッジノードグラフは,それが埋め込まれている複体の部分複体である。
平面位相複体(planar topological complex)(本体4.60) 二次元ユークリッド空間に埋め込むことができ
る幾何実現をもつ位相複体。
B.8 幾何及び位相複体の関係性
準同形(homomorphism)(本体4.52) 一方から他方への構造を保存する関数をもつ二つの領域(二つの
複体のような)の間の関係。
備考 準同形は逆関数を必要としない点で同形と異なる。同形には,本質的には互いに逆関数の関係
にあたる二つの準同形がある。連続関数は,“位相的な特性”を保存するので位相準同形である。
位相複体の幾何実現への写像は,境界の概念を保存する。したがって,一つの準同形である。
ある言語から他への自動翻訳は,記述の意味を維持できるため,通常準同形である。それらは,
慣用的な違い及び不規則性,並びに文化に特有な意味伝達への比ゆ(喩)使用のため,対象の
文をその元の資料に常に写像することができないので,同形であることはほとんどない。例え
単純な場合であっても,イギリス英語及びアメリカ英語のように,語い(彙)及び文法が本質
的に同一となるような場合は,特定の行から推論することは妥当でないという意味のアメリカ
の慣用句“that dog won't hunt”のような,主として文化に由来する慣用表現に依存する。
同形(isomorphism)(本体4.56) 二つの領域の一方から他方への一対一で構造を保存する関数が存在し
て,それら二つの関数をどの順序で合成しても恒等関数に一致するような,二つの領域(二つの複体のよ
うな)の間の関係。
備考 要素が一対一対応し,その対応で次元及び境界が保存される場合,幾何複体は,位相複体に同
形である。
幾何実現(geometric realization)(本体4.49) 位相複体の位相プリミティブに一対一対応した幾何プリ
ミティブをもつ幾何複体。その二つの複体の境界関係は一致する。
備考 この実現では,位相プリミティブは,対応する幾何プリミティブの内部を表現するものとみな
す。合成したものは閉じている。
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附属書C(参考)空間スキーマ概念の事例
序文
この附属書は,空間スキーマ概念を適用した事例を記述するものであり,規定の一部ではない。
C.1 幾何
C.1.1 意味 ここに示した例では,この規格で規定した型の名称を,あたかもインスタンス化可能なクラ
スであるものとして使用している。UMLの通常の意味での型ではないが,この記法は,幾つかの解釈のも
とで妥当と認められる。第一に,適合性の箇条では,この規格での型が応用スキーマに含まれることを必
要としないが,応用スキーマの各クラスが,これらの型を実現することを必要としている。この論理的な
要求では,インスタンス化されたクラスが,標準の型及びインタフェースと異なった名前をもつことを要
求するものではない。第二に,強力な名前空間規約を用いるデザインシステムを仮定すると,異なる名前
空間の項目は,同じ局所名をもつことができる。言い換えれば,局所名は,広域的には一意ではない。第
三に,これらの例は,型の識別を実現するものであればいかなる実装クラスに対しても有効である。いず
れの実装(応用スキーマ)も,これらの型について,それを実現する実装クラスに関連させるようなスキ
ーマ写像をもつ必要がある。記法上妥当な写像であればそれは適切であるといえる。
一般に,“比ゆ(喩)的に言えば同一”だが,技術的には異なる実体に対して,共通の名前を用いること
は有効である。この規格のUMLモデルは抽象型を定義し,応用スキーマは概念クラスを定義し,様々な
ソフトウェアシステムは実装クラス及びデータ構造を定義し,符号化規格によるXMLはエンティティタ
グを定義する。これらすべては,同一の情報内容を参照している。実装されたデジタルの実体によって深
い水準で著しい技術的差異があっても,同じ情報内容の表現に同じ名前を用いることを可能にするのは困
難ではない。このことから,UMLモデル中で定義した型を,応用スキーマで直接用いることが“可能”で
あるといえる。
C.1.2 二次元座標参照系の幾何オブジェクト この例は,単純な復号処理の場面に基づいている。これは,
実効的な位相エディタの生成についての詳細な検討の必要を除去しており,編集の対極となる用途向けの
ものである。次の仮定は,ISO 19109(1) に従って定義した応用スキーマに対するものである。
注(1) 未発行
a) この幾何及び位相のスキーマはこの文書の定義する空間スキーマに適合し,この規格の規定が定義す
る主要な幾何及び位相の型のインスタンス化できる下位クラスを含む。可読性を高めるため,この規
格の規定で使用した型の名前をそのインスタンス化できる下位型タイプ名の代わりに使用する。
b) このスキーマは二次元完全位相を使用する必要がある。
c) このスキーマは二次元座標参照系を含む。
d) この地物スキーマは,附属書DのMiniTopoの解説で示される主題,地物及び地物要素と同等のもの
を含む。
e) 永続的なオブジェクトは,その生成後に“Datastore”と呼ばれるデータ保持領域に挿入される。
図C.1は,平面多様体に基づくGMComplexの幾何を示す。この複体を構築するため,次の例では,オ
ブジェクトを図式の示す組合せに基づいたコンストラクタで生成するような機能的段階構文を使用する。
いったん生成されたオブジェクトは,その後の表記にいつでも使用することができる。この規定の箇条で
正式なコンストラクタが示されていないオブジェクトの場合,単純にオブジェクトの状態のレコード表現
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JIS X 7107:2005の引用国際規格 ISO 一覧
- ISO 19107:2003(IDT)
JIS X 7107:2005の国際規格 ICS 分類一覧
- 35 : 情報技術.事務機械 > 35.240 : 情報技術(IT)の応用 > 35.240.70 : 自然科学へのITの応用
JIS X 7107:2005の関連規格と引用規格一覧
- 規格番号
- 規格名称
- JISX7111:2014
- 地理情報―座標による空間参照