JIS Z 8000-2:2022 量及び単位―第２部：数学記号 | ページ 3

                                                                                             9
                                                                Z 8000-2 : 2022 (ISO 80000-2 : 2019)
                             表6−数学的演算の記号及び表現(続き)
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-10.13 sgn a          符号関数a                実際のaの場合は,次のように表す。
                                                                   a1if0
                                                    sgn a  0if   a 0
                                                             1if  a  0
                                                   番号2-15.7も参照。時には,sgn 0は定義されないこ
                                                   ともある。シグナム関数ともいう。
 2-10.14 inf M          Mの下限                  下に有界な空でない数の集合の最大下界。
 2-10.15 sup M          Mの上限                  上に有界な空でない数の集合の最小上界。
 2-10.16                aの絶対値                また,記号“· ·”は,集合の要素数(2-6.5参照),複
          a
  (1.24)                aの母数                  素数の絶対値(番号2-15.4),ベクトルの大きさ(番
                         aの大きさ                号2-18.4参照)にも用いる。
 2-10.17 a             aの床関数                例
                         実数a以下の最大整数        2.4=2
                                                     −2.4 =−3
 2-10.18 a             aの天井関数              例
                         実数a以上の最小整数       2.4 =3
                                                     −2.4=−2
 2-10.19 int a          実数aの整数部分
                                                    int a sgn a a
                                                   例
                                                   Int(2.4) = 2
                                                   Int(−2.4) = −2
 2-10.20 frac a         実数aの小数部分          frac a = a − int a
                                                   例
                                                   frac(2.4)= 0.4
                                                   frac(−2.4) = −0.4
 2-10.21 min(a, b)      aとbの最小値             この演算は,二つ以上の数又は数の集合に一般化す
                                                   ることが可能である。ただし,無限の数の集合は,最
                                                   小の要素をもつ必要はなく,この場合,下限infを用
                                                   いる(番号2-10.14参照)。
 2-10.22 max(a, b)      aとbの最大値             この演算は,二つ以上の数又は数の集合に一般化す
                                                   ることが可能である。ただし,無限の数の集合は,こ
                                                   の場合には,最大の要素をもつ必要はなく,上限sup
                                                   を用いる(番号2-10.15参照)。

11 組合せ

  この箇条では,n及びkは自然数であり,k ≦ nである。
                                   表7−組合せの記号及び表現
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-11.1 n!             階乗                             n
  (1.23)                                           n!       k  123     n
                                                           k 1              (n > 0の場合)
                                                   0! = 1

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Z 8000-2 : 2022 (ISO 80000-2 : 2019)
                               表7−組合せの記号及び表現(続き)
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-11.2   下           降下階乗                     下 =a        ·
                                                               (a − 1) (a−k + 1)(k > 0の場合)
                                                     下
                                                   aは複素数であってもよい。
                                                   自然数nの場合:
                                                     嬋(= 嬢  堀
                                                   組合せ及び統計では,記号(a)   kは,しばしば,降下階
                                                   乗のために用いる。しかし,特殊関数の理論では,同
                                                   じ記号を上昇階乗に用いることが多く,ポッホハマ
                                                   ー記号という。
 2-11.3   下           上昇階乗                    下                  ·
                                                                     (a + 1)  (a + k−1) (k > 0の場合)
                                                     下 ─
                                                   aは複素数であってもよい。
                                                   自然数nの場合:
                                                      下             1)!
                                                         (   嬢 1)!
                                                   特殊関数の理論では,記号(a)   kは,多くの場合,上昇
                                                   階乗のために用い,ポッホハマー記号という。しか
                                                   し,組合せ及び統計量では,同じ記号を,降下階乗に
                                                   用いることが多い。
 2-11.4  n             二項係数                  n     !( !            寿
                                                                   )!(0≦ k ≦
                                                       =
          k                                        k
 2-11.5 Bn             ベルヌーイ数
                                                           1           
                                                   B    =−         B
                                                   (n > 0の場合)
                                                   B0 = 1
                                                   B     ,B 12
 2-11.6  Ckn           繰返しのない組合せの数          n     !(!  )!
                                                    C    = =
  (1.26)                                                 k
                                                   日本では,  C   も用いる。
 2-11.7  RCkn          繰返しのある組合せの数          nk 1
                                                    RCkn
                                                             k
 2-11.8  Vk            繰返しのない順列の数                  
                                                   V    = (嬋=嬢 堀
  (1.25)  n
                                                   用語“順列”は,n = kの場合に用いる。
                                                   ただし,日本ではn≠kの場合にも順列ということが
                                                   ある。
                                                   日本では,nPkも用いる。
 2-11.9  RVk           繰返しのある順列の数      RVk    k
             n                                        n
                                                          n

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                                                                                            11
                                                                Z 8000-2 : 2022 (ISO 80000-2 : 2019)

12 関数

  番号2-12.12-12.13は,一般における関数に関するものであり,番号2-12.142-12.27は,計算で用い
られる値としての数値をもつ関数に関するものである。
                                    表8−関数の記号及び表現
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-12.1 f,     h, ·  関数                     関数は,その定義域内の任意の引数に,値域内の一意
                                                   の値を割り当てる。
                                                   引数は関数によって値に写像されるといい,これは,
                                                   関数のもとでの引数の写像という。
 2-12.2 f(x)                                     その定義域としてn個の集合をもつ関数は,n-変数
                         引数x又は引数(x1, ·, xn)の
  (3.1) f(x1, ·, xn)  関数fの値                関数である。
 2-12.3 dom f          fの定義域                fが値を割り当てる対象の集合。
                                                   D(f)も用いる。
 2-12.4 ran f          fの値域                  関数fの値の集合。
                                                   R(f)も用いる。
 2-12.5 f: A → B      fは,AをBに写像する      dom f = Aかつran f = B
                                                   Bの全ての要素が関数fの値であることは必須では
                                                   ない。
 2-12.6 f: A B        fは,AをB上に写像する    dom f = Aかつran f = B
 2-12.7 f: A B         fは,AをB上に単射する    f: A → Bのとき,全てのx, y ∈ Aについて,
                                                   x ≠y であれば,f(x) ≠ f(y) である。
                                                   この場合,関数fは,単射又は1対1対応であるとい
                                                   う。
 2-12.8 f: AB          fは,AをBに全単射する    f: A B,かつf: A B
 2-12.9 x T(x),x ∈ A                          T(x)は,引数x ∈ Aに対する何らかの関数の値を表す
                         T(x)上に任意のx ∈ Aを写像す
                         る関数                   定義項である。
                                                   この関数をfとすると,いかなるx ∈ Aでもf(x) = T(x)
                                                   となる。したがって,定義項T(x)は,関数fを表すた
                                                   めに用いることが多い。
                                                   例
                                                   x 3x2y,x ∈ [0, 2]
                                                   これは,指定された区間で項3x2yによって定義され
                                                   た(変数yに依存するxの)2次関数である。
                                                   関数記号が導入されない場合,項3x2yは,この関数
                                                   を示すために用いる。
 2-12.10 f -1           fの逆関数                関数fの逆関数f -1は,fが単射型である場合にだけ
                                                   定義してよい。
                                                   fが単射型である場合,x ∈ dom fに関して,
                                                   dom(f−1) = ran(f),ran(f−1) = dom(f),及び
                                                   f−1(f(x)) = xである。
                                                                                  f(x)-1と混同し
                                                   逆関数f-1は,点ごとの逆数の関数x
                                                   ないほうがよい。
 2-12.11                fと      成関数         (          攀 名毘  攀
                                                              協                               
                                                                 成関数では,関数fを作用した後に関数
                                                   用する。
 2-12.12   →          f(x) = y                 例
                                                       cos
                         fは,xをyに写像する                      1
         f:x  y

――――― [JIS Z 8000 pdf 13] ―――――

           12
Z 8000-2 : 2022 (ISO 80000-2 : 2019)
                                表8−関数の記号及び表現(続き)
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-12.13   b           f(b)−f(a)               この表記法は,主に,定積分の値を求めるときに用い
          f                                       る。
            a            f   b
                            ...,,... f   a
                                        ...,,...
                    ub
               u
          f (...,,...)
                    ua
           →     攀
 2-12.14 lim           xが限りなくaに近づくとき f(x)がx → aでbに収束する場合,
  (4.2) lim →      攀 の関数f(x)の極限          lim →         攀   估      
                                                   “右から”(x>a)及び“左から”(x                                                   れぞれ,
                                                   lim →          x)及び
                                                   lim  →          x)と表す。
 2-12.15      攀 伍毘  攀
                         f(x)は,                 ここで“=”という記号は,歴史的な理由のために用
                                      x)のランダウ記法で
                         大文字の“O”である。    いており,推移性が適用されないため,等しいとの意
                         ·f(x)/   x)·は,f(x)が  味をもたない。
                                                 x)と同等
                         又は下位のオーダーであるこ例
                         とから,極限では上に有界で              攀
                                                   x → 0の場合,sin       攀
                         ある。                   注記 ランダウの記号(Landau symbol)は,関数の極
                                                        限における値の変化度合いに,おおよその評価
                                                        を与えるための記法である。記号Oは
                                                        “omicron”から。
 2-12.16      攀 毘    攀
                         f(x)は,                 ここで“=”という記号は,歴史的な理由のために用
                                      x)のランダウ記法で
                         小文字の“o”である。    いており,推移性が適用されないため,等しいとの意
                         f(x)が                   味をもたない。
                                     x)より下位のオーダー
                         であることから,極限では 例
                         f(x)/     x) →0である。 x → 0の場合,cos攀           攀
                                                   2-12.15参照。
 2-12.17 Δf            デルタf,                 文脈によって示唆される二つの関数の値の差。
  (4.5)                 fの有限増分(差分)      例
                                                   Δ 攀
                                                          攀           
 2-12.18 d              xに関するfの導関数       一つの変数の関数にだけ用いる。
         d 攀
  (4.6)                                           例えば,次のような表記も用いる。
                                                      (,d)
         d                                                    攀擘 攀( 攀 びDf(x)
         f'
                                                   独立変数が時間tである場合, の代わりに  も用い
         Df
                                                   る。
                                                   日本では,導関数を微分,微分係数ということもあ
                                                   る。
 2-12.19  擘           x = aに関するfの導関数値 番号2-12.18も参照。
          d 瀋
  (4.7)                 x = aに関するfの微分係数値
         (d 一擘攀
         f' (a)
         Df (a)

――――― [JIS Z 8000 pdf 14] ―――――

                                                                                            13
                                                                Z 8000-2 : 2022 (ISO 80000-2 : 2019)
                                表8−関数の記号及び表現(続き)
   番号    記号,表現      意味又は同等の表現                    説明·事例
 2-12.20 d              xに関するfのn階導関数    一つの変数の関数にだけ用いる。
         d                                              ( )
  (4.8)                                                   ,d
                                                                   ,攀擘    )( 攀  びDnfも用いる。
         d  一擘
                                                              び        湎 わりに,それぞれ
                                                                                             及び         も
               )
                                                   る。
                                                   独立変数が時間tである場合,  の代わりに   も用い
                                                   る。
 2-12.21                xに関するfの偏導関数     多変数関数にだけ用いる。
            攀
  (4.10)                                          ∂     攀y,·)
                                                            ,∂   攀 y,·)∂
                                                                           攀∂       攀   ·)
                攀                                   ∂
              f                                   及びDxf (x, y, ·)も用いる。
                                                   他の独立変数は,添字として示してもよい。
                                                   例えば,     ·
                                                   この偏微分表記は,高次の導関数に拡張することが
                                                   可能である。例えば,
                                                   ∂    ∂ 
                                                            ∂ 
                                                   ∂∂
                                                             ∂ 
                                                   他の表記,例えば,
                                                         = ∂∂
                                                            ∂ 
                                                   も用いる。
                                                   日本では,偏導関数を偏微分ということもある。
 2-12.22 df             fの全微分                多変数関数の場合は,次の式による。
  (4.3)                                           df(x, y,·) = d 攀    dy+
 2-12.23 δf            fの(微小な)変分        この記号は,変分計算に用いる。
  (4.4)
 2-12.24                fの不定積分
                 攀 擘 攀
  (4.13)
 2-12.25                fのaからbまでの定積分    これは,区間を定義された関数の単純な場合である。
  (4.14)      d 攀攀                             より一般的な領域で定義された関数の積分を定義し
                                                   てもよい。例えば,曲線C,表面S,3次元領域V,
                                                   及び閉曲線又は表面のそれぞれにおける積分に対し
                                                   て,特殊な表記法を用いる。
                                                       ,  ,  ,
                                                   CSV
                                                   多重積分も用いる。
                                                        ,
 2-12.26  b            cに特異点をもつfの積分のコ
             fxx        ーシー主値                 →
                                                    lim                    d 攀
                                                                    攀擘 攀       攀
           a            ここで,a < c < b

――――― [JIS Z 8000 pdf 15] ―――――

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