JIS Z 8101-3:1999 統計―用語と記号―第３部：実験計画法 | ページ 5

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                                                             Z 8101-3 : 1999 (ISO/FDIS 3534-3 : 1999)
2.3.4.1  釣合い型不完備ブロック計画,BIBD つりあいがたふかんびぶろっくけいかく,びーあいびー
でぃー
balanced incomplete block design, BIBD
  主要な因子のl個の水準を,各ブロックが等しくk個の異なる水準を含むb個のブロックに配置した不
完備型ブロック計画。
  水準のすべてのペアは等しく   汐  のブロックに現れる。
    参考           合数という。
    備考1. “釣合い (balanced)”という用語は各ペアの実現数が等しいことを表し,“不完備
            (incomplete)”は各ブロックで主要な因子のすべての水準を実施することができないことを表
            している。“ブロック (block)”は,実験単位の均一な部分集合上で実験を実施することを表
            している。
    例1. 4処理,6ブロック,各ブロック2処理(l=4,k=2,b=6,    1)の状況を考える。具体的には,
          主要な因子の4水準 (T1,T2,T3,T4) を取り上げるけれども,1日に二つの水準しか実施できな
          いものとする。6日間でこの実験を実施するとすれば,次の計画が適切である。
               日            T1        T2        T3        T4
               1             *         *
               2                                 *         *
               3             *                   *
               4                       *                   *
               5             *                             *
               6                       *         *
            この例では,処理水準の各ペアは1回ずつ同じブロックに現れている。
    例2. 主要な因子の6水準,10ブロック,各ブロック3水準(l=6,k=3,b=10,      2)の状況を考え
          る。この場合,6水準から3水準の組を選ぶ可能な組合せの数は20なので,20個のブロックが必
          要であると考えるのは自然である。次の処理組合せを考えよ。ここで,三つの処理水準の組が
          各ブロックを表している。
            (T1, T2, T3), (T1, T2, T4), (T1, T3, T5), (T1, T4, T6), (T1, T5, T6)
            (T2, T3, T6), (T2, T4, T5), (T2, T5, T6), (T3, T4, T5), (T3, T4, T6)
            ここで,水準の各ペアは正確に2回ずつ同じブロックに現れている。このことは,10ブロッ
          クで十分なことを意味している。
    例3   7水準,7ブロック,各ブロック4水準(l=7,k=4,b=7,      2)の状況を考える。
                                                            主要な因子の水準
                                      ブロック     1      1      2      3     6
                                                   2      2      3      4     7
                                                   3      3      4      5     1
                                                   4      4      5      6     2
                                                   5      5      6      7     3
                                                   6      6      7      1     4
                                                   7      7      1      2     5
    備考2. 釣合い型不完備ブロック計画では,主要な因子の各水準は実験において等しくr回現れる。
            そして,次の関係が成り立つ。

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Z 8101-3 : 1999 (ISO/FDIS 3534-3 : 1999)
                        b・k=l・h, b≧l, h (k−1) = l−1)
              上の数式において各記号は整数を意味しているので,(l,k,b,h,      の組合せのうち限
            られたものだけから不完備型ブロック計画を構成することができる。しかし,与えられた五
            つの整数(l,k,b,h,      が上記の三つの条件を満足しても,必ずしもBIBDが存在すると
            は限らない。
         3. ランダム化のためには,各ブロックをランダムに配置し,ブロック内で独立に処理水準をラ
            ンダムに配置する。
2.3.4.2  部分釣合い型不完備ブロック計画,PBIB ぶぶんつりあいがたふかんびぶろっくけいかく,ぴ
ーびーあいびー
partially balanced incomplete block design, PBIB
  主要な因子のl個の水準を,各ブロックが等しくk個の異なる水準を含むb個のブロックに配置した不
完備型ブロック計画。
  水準のペアが同じブロックに一緒に現れる回数は,ペアによって異なる。
    備考1. l個の水準とb個のブロックからなる不完備型ブロック計画は,次の条件を満たすとき,m (≧
            2) クラスのアソシエートをもつPBIBという。
        a) 各ブロックはk (        b) 各水準はh個のブロックに現れる。
        c) 水準間に次の関係が存在する。
        − 任意の二つの水準は,第1種,第2種,···,第m種のアソシエートのいずれかである。この
            関係は対称的である(水準         雰戰                               戰
                                                      i種アソシエートならば,水準      雰       i種ア
            ソシエートである)。
        − 各水準はni個の第i種アソシエートをもつ (i=1,2,···,m) 。数値niは選ばれた水準には
            依存しない。
        − 第i種のアソシエート関係にある水準のペア   戰          えられたとき,        j種アソシエート
            であり,  戰     k種アソシエートである水準の数はPjki (i,j,k=1,2,···,m) である。数値
            Pjkiは第i種のアソシエートにあるペア (懿     戀   ‰     堰地
          d) 互いに第i種アソシエートの関係にある任意の二つの水準は,     椀     i=1,2,···,m) 個のブ
              ロックで一緒に現れる。すべての    椰      地  
         2. 整数l,b,h,k,               ···         n1,n2,···nm,Pjki (i=1,2,···,m) には次の関係がある。
                        l・h=b・k
                        n1      n2       ···+nm       h (k−1)
                        n1+n2+···+nm=l−1
                        niPjki= njPiik = nkPkij
    例 次の表に示されるl=6,k=4,b=6,h=4,n1=1,n2=4,        4,        2の状況を考える。
                                                            主要な因子の水準
                                      ブロック     1      1      4      2     5
                                                   2      2      5      3     6
                                                   3      3      6      1     4
                                                   4      4      1      5     2
                                                   5      5      2      6     3

――――― [JIS Z 8101-3 pdf 22] ―――――

                                                                                             21
                                                             Z 8101-3 : 1999 (ISO/FDIS 3534-3 : 1999)
                                                   6      6      3      4     1
          この計画で,各水準はh=4回実施され,任意の水準(例えば,水準1)から始めると,n1=1
        個の水準(例えば,水準4)が         4個のブロックにおいて水準1と共に現れ,n2=4個の水準(水
        準2,3,5,6)は          2個のブロックにおいて水準1と共に現れる。どの水準から始めても,こ
        れらのパラメータn1,n2,                    同じである。
2.3.5  ユーデン方格 ゆーでんほうかく
Youden square
  ラテン方格から,行または列を取り除いたり,あるいは加えたりすることによって導かれるブロック計
画で,一方のブロック因子に関しては乱塊法,他方のブロック因子に関しては釣合い型不完備ブロック計
画になっている計画。
    備考 ユーデン方格は,行列の行と列とによって表される二つのブロック因子をもつ計画と考えるこ
          とができる。行列の各要素は主要な因子の水準を表している。例えば,次の配置において列の
          数が水準の数と等しく,行の数は列の数より少ないとする。行ブロック因子に関しては乱塊法
          となるように,各水準は各行において1回現れる。これに対して,列ブロック因子に注目すれ
          ば,釣合い型不完備ブロック計画となる。4×4ラテン方格から第4行を除去することによって,
          3×4ユーデン方格が得られる。
    例1.
                                           ブロック因子2(列)
                     ブロック因子1           1      2     3      4
                     (行)           1      A      D     C      B
                                      2      B      A     D      C
                                      3      C      B      A     D
                                             /
                                             D     /
                                                   C      /
                                                          B      /
                                                                 A    ラテン方格から除去
                                      A,B,C,Dは主要な因子の4水準を示している。
    例2. 次の配列は4×7ユーデン方格を示す。
              3       4       5       6       7       1       2
              5       6       7       1       2       3       4
              6       7       1       2       3       4       5
              7       1       2       3       4       5       6
            この例において,四つの行は乱塊法であり,七つの列はパラメータl=b=7,h=k=4,      2
          のBIBDであることが分かる。
2.3.6  分割法 ぶんかつほう
split-plot design
  主要な因子の同じ水準が割り当てられている実験単位の一群(プロット,plot)を分割 (split) し,他の
いくつかの主要な因子の効果を最初の主要な因子の各水準内で検討することができるようにした計画。
    例 因子Aの3水準を2反復で試験する。
          Aの各水準内で因子Bの同じ2水準を研究する。
                                            反復I                   反復II
                          プロット
                             A1         A1B2      A1B1          A1B2      A1B1
                              A2        A2B1      A2B2          A2B1      A2B2
                              A3        A3B1      A3B2          A3B2      A3B1

――――― [JIS Z 8101-3 pdf 23] ―――――

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Z 8101-3 : 1999 (ISO/FDIS 3534-3 : 1999)
    備考1. この例で,反復は1次因子 (A) に対してブロックの役割を果たしている。Aの3水準の一つが
            割り当てられた各プロットは,2次因子B(プロット内因子)に対してブロックの役割を果た
            す。Bの効果はAの水準内で調べられることになる。したがって,プロット内因子Bについ
            て残差の推定値は,実験全体の残差の推定値よりも小さくなるはずである。分割法では,プ
            ロット内効果とプロット間効果に対して異なる残差の値が得られる。この計画を拡張して,2
            次因子の水準内で比較されるような3次因子を導入することも可能である。分割法がよく用い
            られるのは,一つの因子に関しては,その水準を変えることが容易ではないので一連の広い
            実験領域に水準が割り当てられるのに対して,他の因子に関しては一連の実験領域の中で容
            易に水準を変えることができる場合である。
    参考 1次因子,2次因子を,一次因子,二次因子と表記してもよい。
    備考2. この実験配置は,農業実験[ここに,分割法 (split-plot design) の名前が由来している。]と
            ともに,工業実験においても普通に用いられる。しばしば,ある因子の一連の水準が大きな
            実験単位を必要とするのに対して,他の因子の一連の水準は,より小さな実験単位で比較す
            ることができる。例えば,合金を製造するための異なるタイプの炉の比較は,異なるタイプ
            の鋳型の比較よりも多くの合金材料を必要とするであろう。炉のタイプは1次因子の水準,鋳
            型のタイプは2次因子(プロット内因子)の水準と考えることができる。別の例は,大きな機
            械を用いる場合である。その作業速度を変えるには,一連の歯車を交換するという時間とコ
            ストのかかる仕事が必要なので,この因子の水準を頻繁に変化させることは望ましくない。
            各速度で製造された材料は,いくつかの手法で熱処理されたり,異なる圧力のもとで成形さ
            れたり,異なる光沢剤で磨かれたりする。これら三つの因子の水準を変えることは比較的容
            易である。後者がプロット内因子(2次因子)となり,作業速度がプロット間因子(1次因子)
            となる。
    参考 一次因子の主効果は一次誤差 (first order error) で検定し,二次因子の主効果は二次誤差
          (second order error) で検定する。1次誤差,2次誤差を,一次誤差,二次誤差と表記してもよ
          い。
2.3.7  2方分割法 にほうぶんかつほう
two-way split-plot design, split-block design
  2次因子の水準が,各プロットで独立にランダム化されるのではなく,各反復におけるプロットにまた
がって帯状に配置されている分割法。したがって,二つの異なる方向への分割法と考えることができる。
    参考 二方分割法と表記してもよい。
    例 3×4計画において,ランダム化後の適切な配置は次のようになる。

――――― [JIS Z 8101-3 pdf 24] ―――――

                                                                                             23
                                                             Z 8101-3 : 1999 (ISO/FDIS 3534-3 : 1999)
    備考 2方分割法は,AとBの主効果(平均効果)の精度を犠牲にして,交互作用(差の効果)の精
          度を高くしている。一般に交互作用に関しては,乱塊法や通常の分割法よりも正確に調べるこ
          とができる。
            工場実験では,実際上の見地からこの計画が必要になる。例えば繊維工業において,因子A
          は二酸化塩素による漂白工程の異なる処理法,因子Bは冷却工程における異なる過酸化水素添
          加量である。

――――― [JIS Z 8101-3 pdf 25] ―――――

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