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B 8672-1 : 2011
D.4.2.2 解析結果
D.4.1.3と同様に,大きさ10の標本の中に累積確率が0.012 %であるような極端なデータを少なくとも一
つ含む確率は,この場合,式(D.4)を適用すると次のようになる。
pex=10×0.000 122=0.001 22
すなわち,大きさ10の標本にこのような極端なデータが起こる確率は,判断基準の5 %よりずっと小さ
い約0.1 %であり,それが起こったのであるから,これは異常値と判定される。したがって,順位1のデ
ータは信頼性評価から除外してよいが,データは異常値として報告しなければならない。
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附属書JA
(参考)
ワイブル解析のための数学的補遺
JA.1 概要
この附属書では,寿命試験データにワイブル分布を当てはめて母数及び信頼限界を推定する,いわゆる,
ワイブル解析のための数学的基礎について示す。箇条7の注4)では,ワイブル解析に際して市販のソフト
ウェアを使用してよいと記載しているが,この附属書は,正しいソフトウェアの選定,利用又は開発を助
ける目的で,メディアンランクによる故障確率の決定法,メディアンランク回帰法,最ゆう推定法による
母数の推定法,及びフィッシャーのマトリックスによる信頼限界の決定法について示す。
JA.2 メディアンランク
JA.2.1 信頼度及び故障確率
信頼度とは,ある製品の母集団が所定の寿命時間まで必要な機能を果たすことのできる確率の推定値で
ある。信頼度は寿命時間によって変化するので,R(t)のように寿命時間tの関数として表す。これに対し,
ある寿命時間までの母集団に関する故障確率の推定値は不信頼度と呼ぶことがあるが,これをF(t)とする
と,式(JA.1)の関係がある。
R(t)=1−F(t) (JA.1)
ワイブル分布関数は故障確率について定義され,式(JA.2)のようであるから,信頼度を表す関数は式
(JA.3)のようになる。
t
Ft 1 exp ,t≧0 (JA.2)
t
Rt exp (JA.3)
したがって,故障確率,すなわち,不信頼度を求めれば,信頼度が分かる。
注記 故障確率は一般に記号pで表すことも多いが,全く同じ意味である。
JA.2.2 故障確率の推定方法
n個の製品からなる標本を試験した場合を考える。試験の結果,標本の全てが故障し,n個の寿命の観測
データが得られたとする。データを小さい方から大きい順に並べ直したものを順序統計量というが,この
場合は,t1≦t2≦······≦ti≦······≦tnとなる。このような順序統計データは,同一母集団から採った種々の標
本について求めると少しずつ異なっているが,全体としてはほぼ一定の性質をもつ。そこで,このような
標本についてのデータから,母集団の性質を推定する。
寿命時間tiに対する故障確率は,nが非常に大きいときは,ほぼF(ti)=i/nと推定できる。しかし,nが
小さいときは,異なる標本による順序統計量ごとのデータのばらつきが無視できなくなるため,推定した
故障確率の値もばらつく。
この問題を避けるため,故障確率のばらつきの中央値,すなわち,メディアンを理論的に求めて用いる。
これがメディアンランク法である。ただし,この計算は複雑なので,一般には次の近似式を用いる。
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3.0
Fit (JA.4)
4.0
ここに, i : 順序統計量の中でのデータの順位
n : 標本の大きさ
なお,式(JA.4)による故障確率の推定は,中途打切りを含まない打切りデータ(附属書A参照),及び中
途打切りを含む打切りデータ(附属書B参照)にも,それぞれ注意点はあるが,適用できる。
JA.2.3 適用例
標本の大きさn=7,データの順位i=4の場合について考える。式(JA.4)を適用すると,寿命時間t4に対
する故障確率は式(JA.4' )になる。
4 3.0 7.3
F t4 5.0 (JA.4' )
7 4.0 4.7
このように,nが奇数の場合には,順序統計の中央に位置するデータに対しては,故障確率は常に0.5
である。また,n=7,i=1の場合に対する故障確率は,同様に計算するとF(t1)=0.095となり,故障確率
10 %の寿命B10は,t1より少し大きいことが分かる。これが9.2で標本の大きさを7個以上としている理由
である。
JA.3 メディアンランク回帰法
JA.3.1 一般事項
大きさnの標本について寿命試験を行い,r個の故障寿命データを得たとする。これを順序統計量とし
て故障時間とメディアンランクとの関係を求めるため,この規格では次の二つの方法を示している。
a) 中途打切りを含まないデータの場合 附属書Aによる。
b) 中途打切りを含むデータの場合 附属書Bによる。
この結果,寿命データtiに対応する故障確率としてF(ti)が得られたとする。r個のこのようなデータに対
しワイブル関数を当てはめて,最も確からしい分布の母数を求める手順を,次に示す。
JA.3.2 メディアンランク回帰法による母数の推定
まず,式(JA.2)を移項して両辺の自然対数を二回とると,次の式が得られる。
1 1
ln ti ln ln ln (JA.5)
1 F ti
この形は,更に次のように変数変換を行うと,簡単な一次式になる。
1
xi yi ln (JA.6)
ただし, xi lnti
1
yi ln ln
1 F ti
通常の最小二乗法を適用すると,形状母数β及び尺度母数ηは,次のように求めることができる。
2
r r
2 1
yi yi
i1 r i1
r r r (JA.7)
1
xiyi xi yi
i1 r i1 i1
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r r
1 1
exp xi yi (JA.8)
r i1 r i1
注記 この場合,回帰計算においては,寿命(この場合はその対数)を表すxを目的変数としている。
yはメディアンランクの定義によって,式(JA.4)から確定値が与えられているのに対し,xは製
品ごとの寿命のばらつきを含む確率量だからである。
なお,寿命の対数を目的変数とすることは,寿命の対数の等分散性を仮定することになるが,
それは寿命の等変動係数性を考えていることと等しいから,その意味でも合理的といえる。
JA.3.3 適用例
例として,次の完全データが得られた場合の母数を推定する。表JA.1に計算の過程を示す。
表JA.1−メディアンランク回帰法による計算
終了サイクル数ti不信頼度F(ti) xi=ln ti yi=ln ln[{1/[1−F(ti) ]}] yi2 xi yi
16×106 0.11 2.772 59 −2.155 62 4.646 68 −5.976 64
34×106 0.27 3.526 36 −1.175 27 1.381 26 −4.144 43
53×106 0.42 3.970 29 −0.601 54 0.361 85 −2.388 30
75×106 0.58 4.317 49 −0.147 29 0.021 69 −0.635 91
93×106 0.73 4.532 60 0.281 92 0.079 48 1.277 82
120×106 0.89 4.787 49 0.794 34 0.630 97 3.802 88
計 − 23.906 82 −3.003 46 7.121 94 −8.064 58
式(JA.7)及び式(JA.8)と表JA.1の計算結果から,メディアンランク回帰法におけるβ及びηは,次のよ
うに求まる。
(.3003 46) 2
.7121 49
6 .1439 66
23.906 82 (.3003 46)
.8064 58
6
23.906 82 .3003 46
exp 76.109 6
6 .1439 66 6
JA.4 最ゆう推定法
JA.4.1 一般
ゆう(尤)度とは,想定した母集団の分布関数に観測値を当てはめた結果の確率のことであり,観測値
が想定した分布関数にどの程度よく適合しているかを表す尺度の一つである。寿命データの場合は,ある
寿命時刻までに故障しているか否かの二項分布として,式(JA.9)のゆう度Lを考えるのが一般的である。
mr
m r! r
L Rm 1 R (JA.9)
i1 m! r!
ここに, i : n個中の小さい方から数えたデータ順位
m : 時点tiにおいて正常に稼働している製品の数
r : 時点tiまでに故障した製品の数
R : 分布関数から予測される時点tiにおける信頼度
なお,式(JA.9)の記号Πは,m+r組のデータに対する各値の積を表す。また,時点tiにおいて正常稼働
数m及び故障数rを記録していたとして,ti+1において新たに故障1件を確認したとすると,ti+1にお
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ける正常稼働数はm−1,故障数はr+1となる。すなわち,m及びrは,tiとともに順次変わる値である。
注記 式(JA.9)のゆう度とは,母数β及びηが与えられたとき,その分布が観測したデータに照らして,
どの程度もっともらしい(尤もらしい)かの度合いを表している。
JA.4.2 最ゆう推定法による母数の推定
最ゆう推定法は,観測したデータに対し,ゆう度が最大になるように母数β及びηを定める方法である。
具体的には,式(JA.9)の両辺の自然対数をとると,式(JA.10)のようになるが,未知母数β及びηは式(JA.3)
を参照すれば明らかなように,Rに含まれているだけである。
そこで,式(JA.10)をβ及びηで偏微分して0とおき連立に解けば,ゆう度を最大にする母数β及びηを
求めることができる。結果を整理すると,式(JA.11)及び式(JA.12)のようになる。ただし,式(JA.11)は解析
的に解けないので,例えば,ニュートン・ラプソン法などの数値解法によって解く必要がある。得られた
βの値を式(JA.12)に入れれば,ηが求まる。
mr
m r!
ln L ln mln R rln 1 R (JA.10)
i1 m!r!
mr
t ln ti m r
i1 1 1
mr ti 0 (JA.11)
m r i1
ti
i1
1
mr
1 it
(JA.12)
m r i1
JA.4.3 適用例
JA.3.2のデータを用いて,最ゆう推定法によって母数を推定する。ただし,JA.4.2にあるように,式(JA.11)
のβは一般的な数式で求めることは困難なため,ニュートン・ラプソン法による反復計算によって求めて
いる。具体的には,式(JA.11)の左辺をf(β)とおくと,あらかじめ決めておいた誤差εに対し, 1
i
i に
なるまで 1
i
i f (i ) を反復計算し,
f ( i )
i
1
戰 とみなす方法である。ここで,iは反復計算の回数
である。
計算過程を示すことはできないため,次に結果だけを示す。
β=1.932 678 η=73.525 48
注記 JA.3.2に示したメディアンランク回帰法による結果と,ここに示した最ゆう推定法による結果
とは通常一致しない。特に,βの推定量に違いが表れ,図JA.1に示すように最ゆう推定法によ
る値のほうが大きくなる。その一つの理由は,式(JA.9)などから分かるように,最ゆう推定法で
はRが0.5に近い場合にデータの重みが最も強調される傾向があるのに対し,メディアンラン
ク回帰法では寿命によらず等重みとして解析しているからである。したがって,B10などの信頼
度の低い領域のデータを重視したいときは,メディアンランク回帰法を用いるほうがよい。
JA.5 フィッシャーのマトリックスによる信頼限界
JA.5.1 一般事項
データに当てはめたワイブル関数の信頼限界を求める方法を,次に示す。
一般に信頼限界を求める方法には種々のものがあり,用いる方法によって得られる信頼限界は異なる。
この規格では11.4において,フィッシャーが提案したマトリックス法によって信頼限界を求めることを
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JIS B 8672-1:2011の引用国際規格 ISO 一覧
- ISO 19973-1:2007(MOD)
JIS B 8672-1:2011の国際規格 ICS 分類一覧
- 23 : 一般的に利用される流体システム及びその構成要素 > 23.100 : 流体動力システム > 23.100.01 : 流体動力システム一般
JIS B 8672-1:2011の関連規格と引用規格一覧
- 規格番号
- 規格名称
- JISB0142:2011
- 油圧・空気圧システム及び機器―用語
- JISB8392-1:2012
- 圧縮空気―第1部:汚染物質及び清浄等級
- JISZ8101-1:2015
- 統計―用語及び記号―第1部:一般統計用語及び確率で用いられる用語
- JISZ8115:2019
- ディペンダビリティ(総合信頼性)用語
- JISZ8203:1964
- 単位記号
- JISZ8203:2000
- 国際単位系(SI)及びその使い方