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X 6256 : 2019 (ISO/IEC 16963 : 2017)
附属書E
(参考)
最ゆう(尤)法を用いたB5ライフの区間推定
E.1 下側信頼限界
附属書Aで,B5ライフ及びB50ライフの寿命推定の解析(点推定及び簡易区間推定)について規定した。
ここでは,このB5ライフ及びB50ライフの区間推定の,より正確な解析法を紹介する。
なお,光ディスクの寿命推定の場合,区間推定は推定値の下側だけ考えればよい。
注記 この附属書で示す式は,完全データの場合の式である。
E.2 最ゆう(尤)法
A.1.2で,対数寿命y(=lnt)が正規分布に従うことから,パラメータβ及びσのゆう(尤)度関数は,
次による。
J nj
L β, σ f yij | xi
j 1i 1
J nj 2
1 1 yijx β
exp
j 1i 1 2πσ 2 σ
ここに, J : 標本グループの数
nj : 標本グループの番号jの標本数
σ : 母集団の標準偏差
ゆう(尤)度関数の対数をとると
J J nj
1 2
ln L β,σln 2πσ nj yij β0 β2x2 j
β1x1 j
j 1 2σ2j 1 i 1
β及びσの最ゆう(尤)推定値は,上の式の第2項を最大にすることで得られる。
0 拿1 打 び
2 戰澑 回帰式の係数であり,推定値σは標準偏差である。
推定値
ln B の点推定は,推定値
0 拿1 拿2 打 びσから,次のとおり得ることができる。
p
ln B
p β 0x
β
1 1
x
β
2 2 zp 100σ
寿命分布の第5分位点及び第50分位点は,次による。
ln B β
x
β x
β .164σ
5 0 1 10 2 20
ln B β
β1x10x
β
50 0 2 20
10x
ここに, x, 20 : 制御保存条件(25 ℃及び相対湿度50 %)
光ディスクの対数寿命 ln Bp の区間推定は,下限だけを考えればよい。したがって,対数寿命 ln Bp の(100
−α) %の下側信頼限界は,次による。
――――― [JIS X 6256 pdf 46] ―――――
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p
ln B p
ln B z 100
p]
var[ln B
L
p
ln B β 0x
β
1 10
x
β
2 20 zp 100σ の式は,次のように変換できる。
ln B
xp θ
p
x :
ここに, p ,1 x10 , x20 , zp/100
θ :
, β ,
,β
β
0 1 2 σ
そして,
var ln Bpは,次による。
var ln B xp
x p var θ
p
)
ここに, var(θは,フィッシャー情報行列の逆行列で,次による。
)
var(β )
cov( β 0 , β , β )
cov( β ),
cov( β
0 1 0 2 0 σ
var(β1 )
cov( β1 ),
cov( β1 , β2 ) σ
)
var(θ
var(β2 )
cov( β2 ),
σ
var(σ)
)は β
,β
ここに, cov( β との間の共分散を表す。
とβ
a b a b
5 50 5 50
)
lnB及び lnBの分散は,それぞれ var(ln 5B及び 50 ) で表すことができるので,lnB及び
var(ln B lnBの
95 %下側信頼限界は,次のいずれかによる。
ln B
ln B 1.64 )
var(lnB
5L 5 5
ln B
ln B .164
var(lnB
50L 50 50 )
)
ここに, var(ln 5B及び 50 ) は,次のいずれかによる。
var(ln B
5 )
var(ln B
)
var(β ,β
cov( β) )
,β
cov( β ),
cov( βσ 1
0 0 1 0 2 0
var(β1 ) , β2 )
cov( β1 ),
cov( β1 σx10
1[ x10 x20 1.64]
var(β2 ) ),
cov( βσ x20
2
var(σ) 1.64
cov( β 0 , β
var(β 0 ) )
1
, β )
cov( β
0 2 1
var(ln B ) )
,β
50 )1[ x10x20 ] var( β
1 cov( β
1 2 x10
)
var(β x20
2
以上から,B5ライフの95 %下側信頼限界は,次による。
(Bライフ ) L )
exp (ln B exp
ln B .164 )
var(ln B
5 5 L 5 5
――――― [JIS X 6256 pdf 47] ―――――
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E.3 フィッシャー情報行列及び分散の計算
関数 ln L ln L(β,σ) を使用することによって,E.2中のフィッシャー情報行列Iは,次による。
2 2 2 2
ln L ln L ln L ln L
β02 β0 β1 β0 β2 β0 σ
2 2 2 2
ln L ln L ln L ln L
2
β0 β1 β12 β1 β2 β1 σ
I E 2 2 2 2
ln L ln L ln L ln L
β0 β2 β1 β2 β22 β2 σ
2 2 2 2
ln L ln L ln L ln L
β0 σ β1 σ β2 σ σ2
ここに, E(ix ) : xiの期待値
行列Iの各成分は,次による。
2ln 2 J 2 J 2ln
L n ln L 1 ln L 1 L
E E njx1 j E njx2 j E 0
2
β
0 σ2 β0 β1σ2j 1 β0 β2 σ2j 1 β0 σ
2 J 2 J 2
ln L 1 2 ln L 1 ln L
E njx1 j E njx1 jx2 jE 0
β12 σ2j 1 β1 β2σ2j 1 β1 σ
2 J 2
ln L 1 2 ln L
E njx2 j E 0
β22 σ2j 1 β2 σ
2
ln L 2n
E
σ2 σ2
J
n : 総標本数を表し
ここに, n nj
j 1
したがって,Iは,次による。
J J
n 1 1
njx1 j njx2 j 0
σ2 σ2j 1 σ2j 1
J J J
1 1 2 1
njx1 j njx1 j 0
njx1 jx2 j
I σ2j 1 σ2j 1 σ2 j 1
J J J
1 1 1 2
2
njx2 j 2
njx1 jx2 j 2
njx2 j 0
σ j 1 σ j 1 σ j 1
2n
0 0 0 2
σ
)
50 ) 及び var(ln 5Bは,次による。
逆行列I −1を使うと, var(ln B
――――― [JIS X 6256 pdf 48] ―――――
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J J
1
n 1 1
2 2 njx1 j 2 njx2 j
σ σ j 1 σ j 1
J J J
1
1 1 1
var ( ln B
50 )1 x10 x20 njx1 j njx12j njx1 jx2 j x10
σ2j 1 σ2j 1 σ2j 1
J J J x20
1 1 1 2
2 njx2 j 2 njx1 jx2 j 2 nx
j 2j
σ j 1 σ j 1 σ j 1
J J
1
n 1 1
njx1 j njx2 j 0
σ2 σ2j 1 σ2 j 1
1
J
1
J
2 1
J 1
njx1 j njx1 j njx1 jx2 j0
5 ) σ2 σ2 σ2 x10
var ( ln B 1 x10 x201.64 j 1 j 1 j 1
1
J
1
J
1
J
2
x20
njx2 j njx1 jx2 j njx2 j 0
2
σ
2
σ
2
σ 1.64
j 1 j 1 j 1
2n
0 0 0 2
σ
アレニウス法では温度が唯一の変数で湿度は固定であり,アレニウス法の分散を推定する式は,次によ
る。
J
1
n 1
2 2
njx1 j
50 ) σ σ j 1 1
var ( ln B 1 x10 J J
1 1 2 x10
njx1 j njx1 j
σ2j 1 σ2j 1
J
1
n 1
njx1 j 0
σ2 σ2j 1
J J
1
) 1 1 2
var ( ln B
5 1 x10 1.64 njx1 j nxj 1j 0 x10
σ2 j 1 σ2j 1
1.64
2n
0 0
σ2
E.4 分散の計算例
B.2のデータに対する計算例を,表E.1,表E.2,表E.3及び表E.4を使った分散の計算例を,次に示す。
表E.1−グループデータ
Temp1 Temp2 Temp3 Temp4 Temp5 lsm
85 85 85 75 65 0.132 35
RH1 RH2 RH3 RH4 RH5
80 70 60 80 80
n1 n2 n3 n4 n5 Σnj
20 20 20 20 30 110
――――― [JIS X 6256 pdf 49] ―――――
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表E.2−x1j及びx2j
x11 x12 x13 x14 x15
0.002 792 13 0.002 792 13 0.002 792 13 0.002 872 33 0.002 957 27
x21 x22 x23 x24 x25
80 70 60 80 80
表E.3−フィッシャー情報行列I
6 279.785 17.908 35 468 129.4 0
17.908 35 0.051 101 81 1 337.029 0
468 129.4 1 337.029 35 280 980 0
0 0 0 12 559.57
表E.4−逆行列I −1
0.303 502 4 −117.650 6 4.315 019E-4 0
−117.650 6 4 791.963 −0.254 791 9 0
4.315 019E-4 −0.254 791 9 3.958 656E-6 0
0 0 0 7.962 056E-5
注記 逆行列は,EXCEL関数の“MINVERSE”のような表計算シートを使うことによって得られる。
)
50 ) 及び var(ln 5Bは,次による。
したがって, var(ln B
50 ) = [1, 0.003 354 016, 50]
var ( ln B
.0303 502 4 117.650 6 .4315 019E - 4 1
117.650 6 39 119.189 .0254 791 9.0003 354 016
.4315 019E - 4 .0254 791 9 .3958 656E - 6 50
= 0.020 915
) 0.003 354 016, 50,−1.64]
var ( ln 5B=[1,
.0303 502 4 117.650 6 .4315 019E - 4 0 1
117.650 6 39 119.189 .0254 791 9 0 .0003 354 016
.4315 019E - 4 .0254 791 9.3958 656E - 6 0 50
0 0 0 .7962 056 E - 5 .164
= 0.021 129
注記 行列の積は,EXCEL関数の“MMULT”のような表計算シートを使うことによって得られる。
――――― [JIS X 6256 pdf 50] ―――――
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JIS X 6256:2019の引用国際規格 ISO 一覧
- ISO/IEC 16963:2017(IDT)
JIS X 6256:2019の国際規格 ICS 分類一覧
JIS X 6256:2019の関連規格と引用規格一覧
- 規格番号
- 規格名称
- JISX6230:2017
- 情報の交換及び蓄積用のデジタル記録媒体―120mm単層(25ギガバイト/ディスク)及び2層(50ギガバイト/ディスク)BDレコーダブルディスク
- JISX6231:2017
- 情報の交換及び蓄積用のデジタル記録媒体―120mm3層片面(100ギガバイト/ディスク),3層両面(200ギガバイト/ディスク)及び4層片面(128ギガバイト/ディスク)BDレコーダブルディスク
- JISX6232:2017
- 情報の交換及び蓄積用のデジタル記録媒体―120mm単層(25ギガバイト/ディスク)及び2層(50ギガバイト/ディスク)BD書換形ディスク
- JISX6233:2017
- 情報の交換及び蓄積用のデジタル記録媒体―120mm3層(100ギガバイト/ディスク)BD書換形ディスク
- JISX6246:2005
- 120mm(4.7GB/面)及び80mm(1.46GB/面)DVD―書換形ディスク(DVD-RAM)
- JISX6248:2007
- 80mm(1.46GB/面)及び120mm(4.70GB/面)DVD リレコーダブルディスク(DVD-RW)
- JISX6249:2009
- 80mm(1.46GB/面)及び120mm(4.70GB/面)DVDレコーダブルディスク(DVD-R)
- JISX6250:2009
- 120mm(4.7GB/面)及び80mm(1.46GB/面)+RWフォーマット光ディスク(4倍速まで)
- JISX6251:2009
- 120mm(4.7GB/面)及び80mm(1.46GB/面)+Rフォーマット光ディスク(16倍速まで)
- JISX6252:2011
- 120mm(8.54Gbytes/面)及び80mm(2.66Gbytes/面)2層DVDレコーダブルディスク(DVD-R for DL)
- JISX6282:2009
- 情報交換用120mm追記形光ディスク(CD-R)
- JISX6283:2009
- 情報交換用120mmリライタブル光ディスク(CD-RW)