24
B 0625 : 2021
D.4 四つのモーメント
平均値まわりの1次4次モーメントは,二項定理を用いて展開して原点まわりの1次4次モーメン
トを用いて式(D.6)によって求める。
1 v1 0
2 v2 v12 2
(D.6)
3 v3 3vv
21 2v13
2
4 v4 4vv
31 6vv
21 3v14
この平均値まわりの1次4次モーメントに対して,標準偏差で正規化した平均値まわりの3次モーメ
ントを歪度[わいど(skewness, coefficient of skewness)],標準偏差で正規化した平均値まわりの4次モー
メントを尖度[せんど(kurtosis, coefficient of kurtosis)]と呼び,その定義を式(D.7)式(D.10)に示す。
n
xi
平均値 v1 EX[() ] (D.7)
n
i 1
n
2 2 (xi )2
分散 2 EX[( ) ] (D.8)
i 1 n
n
3 EX[( 3
) ] (xi )3
歪度 1 3 3 3
(D.9)
i 1 n
n
4 EX[( 4
) ] (xi )4
尖度 2 4 4 4
(D.10)
i 1 n
なお,歪度は分布のゆがみ又は非対称性を表し,“ゆがみ”とも呼ぶ。尖度は,分布のとがり及び/又は
裾の広がりを表し,“とがり”とも呼ぶ。
D.5 計算プロセス
原点まわりのモーメント及び平均値まわりのモーメントを用いて,次のプロセスで求める(図D.1参照)。
a) 解析寸法uの関数を各寸法x1, ·, xnで表す[式(D.11)参照]。
例 u=f(x1, x2, x3)=x3−(x1+x2) (D.11)
u
x1
x3
x2
図D.1−解析寸法と関連寸法の例
b) 解析寸法の関数u=f(x1, ·, xn)をテイラー展開によって,2次の項まで近似する[式(D.12)参照]。実際
の計算時には,解析寸法uの関数を1次の項まで近似するか,2次の項まで近似するかを検討して計
算する。
――――― [JIS B 0625 pdf 26] ―――――
25
B 0625 : 2021
n n 2 n 1 n 2
u 1 u 2 u
uu0 (xx
i i) (xx
i i) (xxx
i i )( jxj ) (D.12)
i 1xi 2 i 1 xi2 xx
i
i 1 ji 1 j
ここで,u0 : 各寸法の平均値における解析寸法の値,xi : i番目の寸法である。
c) テイラー展開した解析寸法の関数の偏微分係数を中心差分法などで求める。
d) 各寸法xiに対するばらつきの分布を,平均値μ,標準偏差σ,歪度β1及び尖度β2で表す。
e) )の分布から各寸法の平均値まわりのモーメントを計算する[式(D.13)参照]。
i1 0
2
i2
3 3/2
(D.13)
i3 1 1 i2
4 2
i4 2 2 i2
f) テイラー展開した解析寸法に関して,計算と表記とを簡略にするために,式(D.14)を計算する。
n n n 1n
2
Yuu0 i( i
bxx i) ii ( i
bxx i) ij ( i
bxxx i )( jxj )
(D.14)
i 1 i 1 i 1 ji 1
ここで,
2 2
u 1 u u
bi , bii 2
, bij
xi 2 xi xx
i j
である。
g) 式(D.14)及びe)で求めた平均値まわりの1次4次モーメント[式(D.13)]を用いて,Yの原点まわり
のモーメントを求める。なお,3次モーメント及び4次モーメントの式は非常に長くなるため,ここ
では一部だけを示す[式(D.15)式(D.18)参照]。
n n n 1 n
2
VY1 []
EY bExx
i (i i) bExx
ii (i i) bExxEx
ij (i i) ( j xj )
i 1 i 1 i 1 ji 1
n n n 1 n
bii1 biii2 biji1j1 (D.15)
i 1 i 1 i 1 ji 1
n
biii2
i 1
n n 1 n
2 2 2 2
VY2 EY
[ ] bi i2 2bb
iiii3 bii i4 2bb
iijjbij j2
i2 (D.16)
i 1 i 1 ji 1
n
3
VY3 EY
[ ] bi3i3 (D.17)
i 1
n n 1n
4 4 2 2
VY4 EY
[ ] bi i4 6bb
i j
j2
i2 (D.18)
i 1 i 1 ji 1
h) 式(D.15)式(D.18)で求めた値を用いて,解析寸法uの平均値まわりのモーメントを求める[式(D.19)
参照]。
――――― [JIS B 0625 pdf 27] ―――――
26
B 0625 : 2021
vu1 vY1 u01)
u2 Y2 vY2 vY1 2
(D.19)
u3 Y3 vY3 3vv
Y 2 Y12vY13
2
u4 Y4 vY4 4vv
Y3 Y16vv
Y 2 Y13vY1 4
注1) +u0は,式(D.14)で変形(−u0)した分を戻している。
i) 式(D.19)で求めた値を用いて,解析寸法uの標準偏差σ,歪度β1及び尖度β2を求める[式(D.20)参照]。
n n
1/2
u2 bi2i2 (bii )2
i 1 i 1
u3
1 3/2
(D.20)
u2
u4
2 2
u2
D.6 公差解析の例
システムモーメント法(1次近似)を用いた公差解析を,D.5のa) i)のプロセスに合わせて次の例を用
いて行う(図D.2参照)。この例では,解析寸法の許容累積公差を0.6(±0.3)とする。
名称 寸法及び許容差 分布タイプ
x1 20±0.3 mm ラムダ分布
x2 10±0.15 mm 正規分布
x3 120°±0.5° ラムダ分布
x4 10±0.1 mm 正規分布
注記 ラムダ分布とは,その歪度及び/又は尖度が,正規分布(歪度=0,尖度=3)又は一様分布(歪
度=0,尖度=1.8)のそれとは異なる分布のことをいう。
図D.2−対象事例
a) 解析寸法uの関数を各寸法x1, ·, xnで表す[式(D.21)参照]。
u (,
fxxxx
1 2, 3,4)
x1 x2 sin(x3 90°) x4 (D.21)
x1 x2 cos x3 x4
図D.2の例の各寸法値を用いて,各寸法の平均値における解析寸法u0を求める[式(D.22)参照]。
u0 f (20,10,120,10)
(D.22)
2010cos120°10 15
b) 解析寸法の関数をテイラー展開によって1次の項まで近似する[式(D.23)参照]。
uu0 xx
1 2 cos x3x4 (D.23)
c) テイラー展開した測定対象の関数の偏微分係数を中心差分法などで求める[式(D.24)参照]。
――――― [JIS B 0625 pdf 28] ―――――
27
B 0625 : 2021
u
b1 1
x1
u
b2 0.5
x2 x3 120
(D.24)
u
b3 0.151
x3 xx2
10
3 120
u
b4 1
x4
d) 各寸法xiに対するばらつきの分布を,平均値μ,標準偏差σ,歪度β1及び尖度β2で表す。
寸法 分布タイプ 平均値μ 標準偏差σ 歪度β1 尖度β2
x1 ラムダ分布 20 1.00×10−1 0.3 2.8
x2 正規分布 10 5.00×10−2 0.0 3.0
x3 ラムダ分布 120 1.67×10−1 0.5 2.5
x4 正規分布 10 3.33×10−2 0.0 3.0
e) )の分布から各寸法の平均値まわりのモーメントを計算する。
寸法 平均値μ μi2 μi3 μi4
x1 20 1.00×10−2 3.00×10−4 2.80×10−4
x2 10 2.50×10−3 0 1.88×10−5
x3 120 2.78×10−2 2.31×10−3 1.93×10−3
x4 10 1.11×10−3 0 3.70×10−6
f) テイラー展開した解析寸法に関して,次のように式を変形する[式(D.25)参照]。
Y=u−u0=x1−x2·cos x3−x4−u0 (D.25)
g) 原点まわりのモーメント(省略)
h) 平均値まわりの14次モーメントを用いて,解析寸法uの平均値まわりのモーメントを求める[式
(D.26)参照]。
vu1 vY1 u0 u0 15
n
2
u2 Y2 vY2 [
EY ] bi2i2
i 1
12 2
(1.0010)0.5 2 3
(2.5010)(1.5110) 12
(2.7810)2
2
1.2410
n
3
u3 Y3 vY3 [
EY ] bi3i3 (D.26)
i 1
13 4
(3.0010)0.5 3
0(1.5110) 13 3
(2.3110)(1) 3
0
4
3.0810
n n 1 n
u4 Y4 vY4 EY
[ 4
] bi4i4
2
6bb
i j
2
j2
i2
i 1 i 1 ji 1
4
4.3910
平均値μ μu2 μu3 μu4
15 1.24×10−2 3.08×10−4 4.39×10−4
i) )で求めた値を用いて,解析寸法uの標準偏差σ,歪度β1及び尖度β2を求める。
――――― [JIS B 0625 pdf 29] ―――――
28
B 0625 : 2021
平均値μ 標準偏差σ 歪度β1 尖度β2
15 1.11×10−1 2.24×10−1 2.87
D.7 解析結果
D.1D.5で記載した手法を用いてD.6で示した例の解析結果を示す(図D.3参照)。3次元公差解析ソフ
トウェアででは,統計的に品質を評価する一般的な指標を併せて計算し,解析寸法のばらつき状態の評価
を行うことが可能である。
良品の確率
LSL USL ばらつき
タイプ ラムダ分布
平均値 = 15.0
標準偏差 = 0.111
歪度 = 0.224
尖度 = 2.87
不良率 不良率
品質基準
歩留率 = 99.4
14.7 15.0 15.3
注記 LSL(lower specification limit)は“下側規格限界”又は“下側仕様限界”,USL(upper
specification limit)は“上側規格限界”又は“上側仕様限界”である。
図D.3−3次元公差解析ソフトウェアで求めた解析結果
――――― [JIS B 0625 pdf 30] ―――――
次のページ PDF 31
JIS B 0625:2021の国際規格 ICS 分類一覧
- 17 : 度量衡及び測定.物理的現象 > 17.040 : 線及び角度の測定 > 17.040.10 : 許容限界及びはめ合い
- 01 : 総論.用語.標準化.ドキュメンテーション > 01.040 : 用語集 > 01.040.17 : 度量衡及び測定.物理的現象(用語集)
JIS B 0625:2021の関連規格と引用規格一覧
- 規格番号
- 規格名称
- JISB0401-1:2016
- 製品の幾何特性仕様(GPS)―長さに関わるサイズ公差のISOコード方式―第1部:サイズ公差,サイズ差及びはめあいの基礎
- JISB0641-1:2020
- 製品の幾何特性仕様(GPS)―製品及び測定装置の測定による検査―第1部:仕様に対する合否判定基準
- JISZ8101-1:2015
- 統計―用語及び記号―第1部:一般統計用語及び確率で用いられる用語
- JISZ8101-2:2015
- 統計―用語及び記号―第2部:統計の応用
- JISZ8103:2019
- 計測用語
- JISZ8114:1999
- 製図―製図用語
- JISZ8121:1967
- オペレーションズリサーチ用語
- JISZ8317-1:2008
- 製図―寸法及び公差の記入方法―第1部:一般原則
- JISZ9031:2012
- 乱数生成及びランダム化の手順